压缩映象原理及其应用

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压缩映象原理及其应用

本节作为完备度量空间何重要特征，我们介绍Banach压缩映象原理，它在许多关于存在唯一性的定理证明中是一个有力的工具。
随着现代电子计算机技术的发展，我们在解方程（包括常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等）的过程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法。几乎可以这样说：对一个方程，只要我们找到一个迭代公式，就算解出了这个方程（当然我们还要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问题）。但是，在逐次迭代中，我们必须保证迭代过程中得到的是个收敛序列，否则就是毫无意义的了。而选代法解方程的实质就是寻求变换（映射、映照）的不动点。例如求方程f(x)=0的根，我们可令g(x)=x-f(x)，则求f(x)=0的根就变成求g(x)的不动点，即求 ,使 .而在通常求映射的不动点的方法中，最简单的就是下面我们所讲的--Banach压缩映象定理。
定义（压缩映象）
设T是度量空间X到X中的映照，如果对 都有 （ 是常数）则称T是X上的一个压缩映照。
从几何上说：压缩映照即点x和y经过映照T后，它们的像的距离缩短了（不超过d(x,y)的 倍）


定理1（Banach压缩映照原理）1922年
（Banach 1892-1945 波兰数学家）
设（X,d）是一个完备度量空间，T是X上的一个压缩映照，则丅有唯一的不动点。即 的 使
证：任取 令
（此即解方程的逐次迭代法）
先证 是Cauchy点列
①
①  先考虑相邻两点的距离
②再考虑任意两点的距离
当n>m时

         

=

=
是Cauchy点列
是完备度量空间, 使
下证x为不动点

     
再证不动点唯一
若还有 ,使
则
因 必须
注:①定理条件(a)X完备,(b) 缺一不可，反例如下
(a)若X不完备,则定理不成立
例如:令X=(0,1),用欧氏距离,
  则
  但不动点
(b) 定理不成立
例如:令 X=R用欧氏距离
则 但显然T无不动点。
    ②若将空间X条件加强为紧距空间，则压缩因子 条件可放宽为1，即可改为


限于我们的学时，我们只介绍一下Banach压缩映象原理的简单应用。
定理2（隐函数存在定理）
设 在带状区域 上处处连续，处处有关于y的偏导数 ,且如果存在常数m,M，适合 .则方程f 在闭区间 上有唯一的连续函数 ,使 。
证：（在 中考虑映照 ，若其为压缩映照，则有不动点 ）
在完备度量空间 中作映照 ,显然,对 由连续函数的运算性质有 。
是 到自身的一个映照
下证是压缩的.
即证 ,任取 由微分中值定理,存在 ,使



令
则 ,故

取最大值

映照T是压缩的.由Banach压缩映象定理
在 上有唯一的不动点 使
显然这个不动点适合
注：① 注意本定理的证明思路：先确定空间，再找映照（这是难点）,然后证明此映照是压缩的，最后利用定理即得。注意到这是利用Banach压缩映照定理解题的一般方法。
②
②  此隐函数存在定理给出的条件强于数学分析中隐函数存在定理所给出的条件，因而得出的结论也强些：此处得出区间上的连续隐函数 .

注意到 . 则 由Brouwer不动点定理 使 即 . 令 则有 . 下证 的每个分量 严挌大于零. 由 的第i个分量方程为 正矩阵一定存在正特征值 和特征向量 。 （四）Rother证明定理： Brouwer定理条件可以减弱，作为Brouwer不动点定理的推广，下面我们证明Rother定理。 Rother定理： 为单位球， 在 上连续,且当 时, 使 . 证：作辅助函数 则 连续,且 . 作 ,则F在 上连续,且将 映入 . 由 Brouwer不动点定理,F有不动点. 即 ,使得 . 下证此 为 之不动点. 若 若 先用反证法证明 . 若 ,则 矛盾, . 从而 故 f有不动点 . 证毕 Brouwer不动点定理有着十分广泛的应用，由于时间关系，我们就不再多谈。对此有兴趣的同学可参阅张石生《不动点理论及其应用》。 我们可以进一步将Brouwer不动点定理推广到无穷维空间—这就是Schauder不动点定理。 二、Schauder不动点定理： （Schauder:1899-1940） 首先我们注意到度量空间中：紧集 列紧闭集（致密闭集），在拓扑空间中：紧集 任意开复盖都有有限复盖之集。 Schauder不动点定理： 紧凸集到自身的连续映照必有不动点。 证：（略） Schauder不动点定理的应用（略）。 我们还可以将Schauder不动点定理再推广到多值映照得到Kakutani不动点定理。